1第九章 拉普拉斯变换第九章第九章 Laplace 变换变换§9.2 Laplace 变换的性质变换的性质§9.1 Laplace 变换的概念变换的概念§9.3 Laplace 逆变换逆变换§9.4 Laplace 变换的应用变换的应用2第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 §9.1 Laplace 变换的概念变换的概念 一、一、Laplace 变换的引入变换的引入二、二、Laplace 变换的定义变换的定义三三、、存在性定理存在性定理 四四、、几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 变换变换 3第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 一、一、Laplace 变换的引入变换的引入 1. Fourier 变换的变换的“局限性局限性”？？当函数当函数满足满足 Dirichlet 条件，且在条件，且在上绝对上绝对可积时，便可以进行古典意义下的可积时，便可以进行古典意义下的 Fourier 变换。
变换由于绝对可积是一个相当强的条件，使得一些简单函数由于绝对可积是一个相当强的条件，使得一些简单函数( (如常数函数、线性函数、正弦函数与余弦函数等等如常数函数、线性函数、正弦函数与余弦函数等等) )的的Fourier 变换也受到限制变换也受到限制 4第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 一、一、Laplace 变换的引入变换的引入 1. Fourier 变换的变换的“局限性局限性”？？广义广义 Fourier 变换的引入，扩大了古典变换的引入，扩大了古典 Fourier 变换的适变换的适用范围，使得用范围，使得 “缓增缓增” 函数也能进行函数也能进行 Fourier 变换，而且变换，而且将周期函数的将周期函数的 Fourier 级数与级数与 Fourier 变换统一起来变换统一起来广义广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如变换对以指数级增长的函数如等等仍然无能为力；而且在变换式中出现冲激函数，也使人仍然无能为力；而且在变换式中出现冲激函数，也使人感到不太满意。
感到不太满意5第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 一、一、Laplace 变换的引入变换的引入 1. Fourier 变换的变换的“局限性局限性”？？在工程实际问题中，许多以时间在工程实际问题中，许多以时间 t 为自变量的函数为自变量的函数( ( 比如比如 起始时刻为零的因果信号等起始时刻为零的因果信号等) )在在 t < 0 时为零，而有些甚至时为零，而有些甚至 在在 t < 0 时根本没有意义时根本没有意义因此在对这些函数进行因此在对这些函数进行 Fourier 变换时，没有必要变换时，没有必要( ( 或者或者 不可能不可能) )在整个实轴上进行在整个实轴上进行 6第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 基本想法基本想法 使得函数在使得函数在 t < 0 的部分的部分补零补零( (或者充零或者充零) )；；使得函数在使得函数在 t > 0 的部分尽快地衰减下来的部分尽快地衰减下来(1) 将函数将函数乘以一个乘以一个单位阶跃函数单位阶跃函数，， (2) 将函数再乘上一个将函数再乘上一个衰减指数函数衰减指数函数，，这样，就有希望使得函数这样，就有希望使得函数满足满足 Fourier 变换的条件，从而对它进行变换的条件，从而对它进行 Fourier 变换。
变换一、一、Laplace 变换的引入变换的引入 2. 如何对如何对 Fourier 变换要进行改造？变换要进行改造？7第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 将上式中的将上式中的记为记为 s，， 就得到了就得到了一种一种新的新的变换：变换： 记为记为 变量变量 s 的实部的实部足够大 实施结果实施结果 一、一、Laplace 变换的引入变换的引入2. 如何对如何对 Fourier 变换要进行改造？变换要进行改造？注意注意上述广义积分存在的关键：上述广义积分存在的关键：8第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 二、二、Laplace 变换的定义变换的定义 s 的某一区域内收敛，的某一区域内收敛， 即即如果对于如果对于 则称则称为为的的 Laplace 变换变换 相应地，称相应地，称为为的的 Laplace 逆变换逆变换或或像原函数像原函数，， 设函数设函数是定义在是定义在上的实值函数，上的实值函数， 定义定义复参数复参数积分积分在复平面在复平面 记为记为或或像函数像函数，， 记为记为的的 Laplace 变换就是变换就是的的 Fourier 变换。
变换注注P213定义定义 9.1 Laplace简介简介9第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 例例 要点要点进行积分时，确定进行积分时，确定 s 的取值范围，保证积分存在的取值范围，保证积分存在P213 例例 9.1 P214 例例 9.2 P216 例例9.310第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 若存在，收敛域若存在，收敛域( (或者存在域或者存在域) )如何？有何特点？如何？有何特点？ 从上述例子可以看出从上述例子可以看出 (1) 即使函数以指数级增长，其即使函数以指数级增长，其 Laplace 变换仍然存在；变换仍然存在； (2) 即使函数不同，但其即使函数不同，但其 Laplace 变换的结果可能相同变换的结果可能相同 (2) Laplace 逆变换如何做？是否惟一？逆变换如何做？是否惟一？ (1) 到底哪些函数存在到底哪些函数存在 Laplace 变换呢？变换呢？问题问题11第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 三三、、存在性定理存在性定理则象函数则象函数在半平面在半平面上一上一定存在且定存在且解析解析。
(1) 在在任何有限区间上分段连续；任何有限区间上分段连续；(2) 具有具有有限的增长性，有限的增长性，即存在常数即存在常数 c 及及，，使得使得，，设函数设函数当当时，时，满足：满足：定理定理( (其中，其中，c 称为函数称为函数的的“增长增长”指数指数) ) 证明证明 ( (略略) ) P215定理定理 9.1 12第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 两点说明两点说明(1) 像函数像函数的的存在域一般是一个右半平面存在域一般是一个右半平面,即只要复数即只要复数 s 的实部足够大就可以了的实部足够大就可以了 只有在非常必要时才特别注明只有在非常必要时才特别注明因此在进行因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域，变换时，常常略去存在域， 即函数即函数等价于等价于函数函数 (2) 在在 Laplace 变换中的函数一般均变换中的函数一般均约定约定在在 t < 0 时为零，时为零， 比如比如13第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 四四、、几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 变换变换解解 (2) (2) (1)= 含冲激函数的含冲激函数的拉氏变换问题拉氏变换问题14第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 四四、、几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 变换变换解解 (3) (2) (1)(3) = ( (G G 函数简介函数简介) )15第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 四四、、几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 变换变换解解 (5) (2) (4) (5) (1)(3) = 16第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 (2) (4) (5) (1)(3) = 四四、、几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 变换变换(6) 解解 (6) 17第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 (2) (4) (5) (1)(3) = 四四、、几个常用函数的几个常用函数的 Laplace 变换变换(6) 特点特点变换的结果均为变换的结果均为分式函数分式函数。
18第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念轻松一下……19第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 人物介绍人物介绍 —— 拉普拉斯拉普拉斯附：附：法国数学家、天文学家 (1749～～1827)拉普拉斯Laplace，，Pierre-Simon 天体力学的主要奠基人，天体演化学的创立者之一天体力学的主要奠基人，天体演化学的创立者之一 分析概率论的创始人，应用数学的先躯分析概率论的创始人，应用数学的先躯 因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿因研究太阳系稳定性的动力学问题被誉为法国的牛顿和天体力学之父和天体力学之父 20第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 人物介绍人物介绍 —— 拉普拉斯拉普拉斯 附：附： 1749 年年 3 月月 23 日，生于法国卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日日，生于法国卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日 1827 年年 3 月月 5 日，卒于巴黎日，卒于巴黎 1795 年任巴黎综合工科学校教授年任巴黎综合工科学校教授 1816 年被选为法兰西学院院士，次年任该院院长。
年被选为法兰西学院院士，次年任该院院长 发表的天文学、数学和物理学的论文有发表的天文学、数学和物理学的论文有 270 多篇 专著合计有专著合计有 4000 多页其中最有代表性的专著有：多页其中最有代表性的专著有： 曾任拿破仑的老师，并在拿破仑政府中担任过内政部长曾任拿破仑的老师，并在拿破仑政府中担任过内政部长《《天体力学天体力学》》 、、和和《《宇宙体系论宇宙体系论》》 《《概率分析理论概率分析理论》》 (返回返回) )21第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 G G - - 函数函数 ( gamma函数函数) 简介简介 附：附：G G - - 函数函数定义为定义为 定义定义 性质性质证明证明特别地，当特别地，当 m 为正整数时，有为正整数时，有( (返回返回) )22第九章 拉普拉斯变换§9.1 Laplace变换的概念 关于含冲激函数的关于含冲激函数的 Laplace 变换问题变换问题附：附： 当函数当函数在在附近有界时附近有界时，，的取值将不会影响的取值将不会影响 其其 Laplace 变换的结果。
变换的结果对积分下限分别取对积分下限分别取和和可得到下面两种形式的可得到下面两种形式的 Laplace 变换：变换：当函数当函数在在处处含冲激函数时含冲激函数时，，则有必要考察一下则有必要考察一下 其其 Laplace 变换中积分下限的设定变换中积分下限的设定本教材采用了后一种形式作为本教材采用了后一种形式作为 函数的函数的 Laplace 变换变换 ( (返回返回) )。
