出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页第第8 8章章 LaplaceLaplace变换变换出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页Laplace变换是另一种积分变换，它在理论上及各种数学物理问题中都有重要应用. 变换的概念我们对某些函数(t)进行适当的改造使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点.首先，根据Heaviside函数H(t)的特点，乘积(t)H(t)可使积分区间由(,+)换成(0,+)；其次是指数衰减函数 所具有的特点，一般地，乘积 可使其变得绝对可积. 从而，对于乘积 ，只要选得适当，一般说来，这个函数的Fourier变换存在，得其中，f(t)=(t)H(t),s=+i，这就导出了一种新的积分变换Laplace变换. 出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页定义如果在实变数t0上有定义的函数f(t)使积分在s的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数为函数f(t)的Laplace变换（或称为像函数），记为F(s)=Lf(t)=f(s).若F(s)是f(t)的Laplace变换，则称f(t)为F(s)的Laplace逆变换（或称为像原函数），记为f(t)=L1F(s).出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例求单位阶跃函数 的Laplace变换.解例求函数f(t)=t的Laplace变换.解出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例求指数函数 (k为实数或复数)的Laplace变换.解由Laplace变换的定义知这个积分在Re sRe k时收敛，而且有从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条件弱得多,下面讨论Laplace变换的存在问题.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页定义设函数f(t)在实变数t0上有定义，若存在两个常数M0及0,对于一切t都有成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，则称f(t)为指数级函数，为其增长指数. 定理（Laplace变换存在定理）若函数f(t)满足下列条件： t0的任一有限区间上分段连续； f(t)是指数级函数.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页则f(t)的Laplace变换在半平面Re s1上一定存在，在此区域上积分绝对收敛而且一致收敛，同时F(s)为解析函数.在证明过程中，要用到含参积分一致收敛的一个充分条件，先叙述如下：若存在函数(t)使|g(t,s)|内是可微的，所以F(s)在Re s内是解析的.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页满足Laplace变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处为有界时，积分中的下限取0+或0不会影响其结果.但当f(t)在t=0处包含了函数时就需要区分积分区间是否包含了t=0这一点，若包含了t=0这一点，常将积分下限记为0，否则记为0+，相应的Laplace变换分别记为出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例求函数(t)的Laplace变换.解例解下面再看一些例子.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例求正弦函数f(t)=sin kt(k为实数)的Laplace变换.解利用Laplace变换定义，得出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例求周期性三角波出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页从上面例子可以得到求周期函数的Laplace变换的公式：其中，f(t)是以T为周期的且在一个周期上是分段连续的周期函数.例求如图所示的半波正弦函数fT(t)拉氏变换.解由已知，函数在一个周期内的表达式为 图8.1出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页变换的性质利用Laplace变换的定义及查Laplace变换表可以求一些常见函数的Laplace变换。
1) 线性性质这个性质表明函数线性组合的Laplace变换（或逆变换）等于各函数Laplace变换（或逆变换）的线性组合，它的证明只须根据定义及积分的性质即可推出.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页(2) 原函数的微分性质这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换.例利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplace变换出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例求f(t)=tm的Laplace变换：(1)m为正整数；(2)实数m1.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页(3)像函数的微分性质例求函数f(t)=tekt的Laplace变换.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页(4)原函数的积分性质出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页(5)像函数的积分性质例求函数 的Laplace变换.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页像函数的积分性质常常用于求广义积分，因为例计算积分 解利用像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得例计算积分 解由像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页(6)位移性质这个性质表明了一个原函数乘以指数函数 的Laplace变换等于其像函数作位移a.例8.15这个性质表明时间函数f(t)推迟个单位的Laplace变换等于它的像函数乘以指数因子es，这个性质在工程技术中也称为时移性.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页（7）延迟性质出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例求如图所示的阶梯函数f(t)拉氏变换. 图8.2出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页(8)相似性质因为函数f(at)的图形可由f(t)的图形沿t轴正向经相似变换而得，所以这个性质称为相似性质. 例设Lf(t)=F(s)，求Lf(atb),其中a0,b0.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页(9)卷积性质在Fourier变换的卷积性质中，已给出了两个函数卷积的定义：但在Laplace变换中，只要求f(t)在0,+)有定义即可.因此，在把卷积应用于Laplace变换时，我们总假定当t0时f1(t)=f2(t)=0，这时，卷积的定义可改变成为下面的形式：出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页变换的逆变换定理若函数f(t)满足Laplace变换存在定理的条件，Lf(t)=F(s)，则L1F(s)由下式给出这就得到了从像函数F(s)求它的像原函数f(t)的一般公式：该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c. 出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页定理例求 的Laplace逆变换.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例8.20此题也可用留数理论来做.例8.21出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页变换的应用Laplace变换的重要应用之一是解微分方程和积分方程，其解题步骤为对所给方程施行Laplace变换得到一像函数的代数方程；求解该代数方程得像函数；对求出的像函数施行Laplace逆变换得像原函数，即为原方程的解.例求方程出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例求解微分方程y+2y+y=et,y(1)=y(1)=0.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例求方程组出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例8.26例解变系数微分方程：出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页例解差分方程其中常数a,h及函数g(t)为已知，当t0时,g(t)=0.解对方程两边取Laplace变换，得当k足够大时,tkh0)的作用沿x轴接近原点,同时受阻尼力 的作用,求质点的运动位移,假设x(0)=x0，x(0)=v0.解建立质点的运动方程为出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页 习题81.用定义求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果.2.求下列函数的拉氏变换.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页3.设f(t)是以2为周期的函数,且在一个周期内的表达式为4.求下列函数的拉氏变换式.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页5.利用像函数的导数公式计算下列各式.6.利用像函数的积分公式计算下列各式.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页7.利用拉氏变换的性质求下列函数的拉氏变换.8.求下列函数的拉氏逆变换.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页9.设f1(t),f2(t)均满足拉氏变换存在定理的条件且Lf1(t)=F1(s),Lf2(t)=F2(s),，则乘积f1(t)f2(t)的拉氏变换一定存在，且其中0,Re s+c0.10.求下列函数的拉氏逆变换（像原函数），并用另一种方法加以验证.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页11.求下列函数的拉氏逆变换.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页12.试求下列微分方程或微分方程组初值问题的解.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页13.求下列各图所示周期函数的拉氏变换.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页14.计算下列积分.15.求下列卷积.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页16.利用卷积定理证明17.利用卷积定理证明18.试求下列积分方程的解.19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力k(t)的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.20.某系统的传递函数 , 求当激励x(t)=A sin t时的系统响应y(t).出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页 习题答案 习题1出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页14.（1）不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域；（2）圆(z1)2+y2=16的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域；（3）由直线x = 0与x = 1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域；出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页（4）以3i为中心，1与2分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有界的、开的多连通区域；出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页（5）直线x= -1右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域；出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页（6）由射线=1及=1+构成的角形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是无界的、开的单连通区域；出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页（9）是以抛物线y2=12x为边界的左方区域（不含边界），是无界的、开的单连通区域；出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页（10）是圆(x+6)2+y2=40及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域.出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页出版社 理工分社复数函数与积分变换退出页 习题21.12.（1）在直线 上可导，在z平面上处处不解析；（2）在点z=0处可导，在z平面处处不解析；（3）在除原点外的z平面上处处可导，处处解析；（4）在z平面上处处不可导，处处不解析；3.（1）f(z)在z平面上处处可导处处解析,且f(z)=2(z1)(2z2z。
